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這門課程想要跟同學介紹R 中如何建立自己的函數。
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R 中已經有非常多很方便的工具，例如mean、sd等各種 幫助使用者計算平均值、標準差的「函數」。而R 也可以讓使用者 建立自己的函數。
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舉例來說，如果我們有一個矩陣m 和一個向量y ，我們 想要找到一個向量x，讓m %*% x很靠近y。 這裡的m 可能是過去的一些資訊，而y 可能是我們感興趣的數 字，我們想預測的數字，或是我們想要了解它是如何變化的數字。 舉例來說，m 是車速，而y 則是煞車的滑行距離。 我們需要了解兩者的關係，才能建議合適的車速，以及與前車之間 要保持的安全距離。
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首先我們先看看m 的值。請同學輸入m
m關卡 5
我們再看看y 的值。請同學輸入y
y關卡 6
因為m 是一個50 * 2 的矩陣，所以在R 裡面找一個長度為2 的向量， 例如c(-17, 4) ，我們就可以用m %*% c(-17, 4)來當作是對y 的趨近。 請同學算算看m %*%c(-17, 4)`
m %*% c(-17, 4)關卡 7
接著我們來評估c(-17, 4)是不是一個好的答案。請同學計算m %*% c(-17, 4) - y 的平方的和(Sum of Square)
sum((m %*% c(-17, 4) - y)^2)關卡 8
通常在比較這個指標的時候，我們可以拿mean(y) - y的平方的和作為一個參考值。 這因為y 的平均是一個趨近y 最最普通的一種方式，所以我們對y 的逼近應該要比mean(y) 來的好。請同學計算以mean(y) - y的平方的和。
sum((mean(y) - y)^2)關卡 9
請問同學，m %*% c(-17, 4)和mean(y)，哪一個趨近y 的效果比較好？（以誤差的平方和來評估）
m %*% c(-17, 4)
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在上面兩個操作的時候，同學重複的計算兩次和y 相差的平方的和。這樣重複的計算， 在R 中是可以透過「撰寫函數」來簡化的。我們可以建立一個R 的函數物件f ，讓上述的兩個 計算的程式碼從sum((<???> - y)^2)變成f(<???>)的。
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請同學輸入f <- function(x) sum((x - y)^2)
f <- function(x) sum((x - y)^2)關卡 12
我們先試試看f 的效果。請同學輸入f(m %*% c(-17, 4))，看看得到的答案是不是仍然是11491， 也就是我們之前算sum((m %*% c(-17, 4) - y)^2)的答案。
f(m %*% c(-17, 4))關卡 13
接著請同學輸入：f(mean(y))，看看答案是不是32538.98，也就是sum((mean(y) - y)^2) 的結果。
f(mean(y))關卡 14
我們來解釋一下：f <- function(x) sum((x - y)^2)的效果。當我們輸入：f(mean(y))時， R 就會進入到「函數的領域」（行話叫做「環境」，這部份在未來的RProgramming 課程中會仔細解釋） mean(y)是f的第一個參數，也就是x ，所以R 在計算sum((x - y)^2) 時，會用mean(y) 的值 替換掉x ，所以我們才能拿到和sum((mean(y) - y)^2)一樣的計算結果。
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同樣的道理，R 在計算f(m %*% c(-17, 4)) 時，他會拿某個運算結果代入sum((x - y)^2)的 x 。請問同學，下列哪一個運算結果是R 代入x 呢？
m %*% c(-17, 4)
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透過f ，我們就可以很方便的計算估計的誤差的平方和。
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但是回到原本的問題，我們是想要找一個長度為2 的向量，讓m 和這個向量相乘後，可以很靠近y 。 可是f 的參數x ，代表的意義已經是對y 的估計了，這樣在使用上還是不夠方便。我們可以利用f 來建立更方便的計算函數。請同學輸入：f1 <- function(x) f(m %*% x)
f1 <- function(x) f(m %*% x)關卡 18
請同學輸入：f1(c(-17, 4))，是不是再次得到一樣的答案：11491呢？但是我們輸入的程式碼更短了。
f1(c(-17, 4))關卡 19
請同學輸入f1(c(1, 1))，我們可以很快的得到如果拿m %*% c(1, 1) 逼近y 後得到的結果好不好。
f1(c(1, 1))關卡 20
把f1(c(1, 1)) 的結果與f(mean(y))的答案32538.98相比，請問哪一個逼近的效果比較好？
mean(y)
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一般來說，如果要靠瞎猜，猜到一組參數x讓m %*% x的估計比mean(y)好也不會太容易。
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另外我們剛剛透過定義f 和f1來簡化重複的動作。當我們在撰寫複雜的程式時，這類簡化的動作 可以讓未來的工作效率。函數的設計，在近代軟體工程的領域中，也是有許多好的規範。這份教材只是介紹 R 的函數功能，如果未來同學有需要寫複雜的R 程式，建議還是查查相關的資料後再動手，會讓自己的工作 效率更高。
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在R 之中我們可以利用optim 來尋找一個函數的最小值。 請同學輸入：optim(c(0,0), f1)並且把結果儲存到變數 r 之中。我們先讓同學玩一玩r 之後，再解釋optim 。這段 玩的過程，也是當我們第一次使用R 強大的計算功能後，得到的結 果。
r <- optim(par = c(0,0), f1)關卡 24
這裡的optim 函數很厲害，可以找到一個向量讓f1 的輸出最小。 這些資訊現在都在變數r 之中。請同學檢查一下r 的型態。
class(r)關卡 25
接著，請同學列出所有r元素的名稱。
names(r)關卡 26
請同學輸入?optim讀一讀optim 的說明，尤其是下一個問題 是要參考Value 這個段落中的說明文字。
?optim關卡 27
請問同學，哪一個r 的元素代表著產生最小值的beta？
par
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我們回來看看原先計算r 的程式碼：optim(c(0,0), f1)。 請問同學，c(0, 0)對應到optim這個函數的哪一個參數？請參考 optim 的說明文件作答。
par
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另外一個R 很重要的特色是，函數本身也是一種物件。R 其實是「函數式語言」，而這是所有函數式語言 的一個重要特色。所以，「函數可以當成參數給另外一個函數的」。
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請問同學，在optim(c(0,0), f1)中，f1對應到optim這個函數的哪一個參數？ 請參考optim 的說明文件作答。
fn
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請問f1的型態（class）是什麼？
class(f1)關卡 32
在optim的範例中，我們運用f1告訴R 我們在乎的指標（也就是透過和m 做相乘後與y 的差別）， 這裡的f1是一個動態的動作：R 每猜一個，例如c(0,0)的值，就會用f1 來評估猜的好不好。 透過一些最佳化的演算法，R 就可以找到最好的猜測。
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請同學輸入r$par看看optim 找到的最佳解
r$par關卡 34
讓我們用迴歸分析的方法找到最好的解。請同學輸入solve(t(m) %*% m, t(m) %*% y)
solve(t(m) %*% m, t(m) %*% y)關卡 35
找到的解是不是非常接近呢？
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以上就是對於R 的函數功能的簡單簡介。